PERTEMUAN 7 & 8 : LIMIT TRIGONOMETRI DAN KONTINUITAS

LIMIT TRIGONOMETRI

Pengertian

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Berbagai Macam – Macam Trigonometri dan Singkatannya

A. Macam – macam trigonometri

Berikut ini adalah nama – nama trigonometri yang biasa kita gunakan :

• Sinus ( sin )
• Tangen ( tan )
• Cosinus ( cos )
• Cotongen ( cot )
• Secan ( sec )
• Cosecan ( Csc )

B. Rumus kebalikan dalam trigonimetri

• sin⁡∝ = 1/csc⁡∝
• cos⁡∝ = 1/sec⁡∝
• tan⁡∝ = 1/cot⁡∝
• tan⁡∝ = sin⁡∝/cos⁡∝
• cot⁡∝=cos⁡∝/sin⁡∝

C. Identitas Trigonometri dalam trigonimetri

Sin2⁡∝ + cos2⁡∝ =1

1+cot2⁡∝=csc2⁡∝

Tan2⁡∝+1=sec2⁡∝

D. Rumus Jumlah dan Selisih dalam trigonimetri

E. Rumus Perkalian dalam trigonimetri

F. Rumus sudut rangkap dalam trigonimetri

Teorema Limit Trigonometri

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menuntaskan persoalan limit trigonometri yaitu sebagai berikut :

Teorema A

Teorema tersebut hanya berlaku pada saat (x -> 0) .

Teorema B

Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real ( asli ) “c” di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsi nya yaitu berupa sudut – sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Karna itu kita perlu mengetahui nilai – nilai sudut istimewa yang terdapat pada tabel di bawah ini :

Tabel Sudut Istimewa

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus diatas merupakan bekal atau prasyarat yang penting untuk digunakan dalam menghitung nilai limit trigonometri. Sebenarnya terdapat berbagai macam fungsi trigonometri yang sering muncul dalam permasalahan limit.

Pada pembahasan ini akan didiskusikan bagaimana menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri untuk x (atau variabel lainnya) mendekati nol. Sifat-sifat berikut kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

Hitunglah limit berikut :

Contoh Soal 1 :

Penyelesaian :

Jadi, limit fungsi trigonometri yang diberikan adalah 4.

Contoh Soal 2 :

Karena apabila kita langsung di subtitusikan menghasilkan 0 maka kita perlu menyelesaikan soal di tersebut dengan mengubahnya ke bentuk identitas.

Penyelesaian :

Contoh Soal 3 :

Penyelesaian :

Jadi, kita peroleh nilai limit fungsi yang diberikan adalah 2/9. 

KONTINUITAS

Salah satu topik yang berkaitan dengan konsep limit fungsi adalah kekontinuan fungsi atau kontinuitas fungsi. Suatu fungsi dapat kontinu atau tidak kontinu di suatu titik.

Contoh Soal 1 :

Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah f kontinu di x = 3?

Penyelesaian :

Limit kiri:

Limit kanan:

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.

Kita simpulkan

dan

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3

Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa

Kesimpulan:  f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada dibawah ini.

Catatan:

Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f(3) = 4.

Contoh Soal 2 :

Misalkan g suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah g kontinu di x = 0?

Penyelesaian :

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 0

Limit kiri:

 

Limit kanan:

 

Ternyata nilai limit kirinya tidak sama dengan limit kanannya, sehingga kita simpulkan:

tidak ada. Pada langkah ini juga, langsung simpulkan g tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Catatan:

Diskontinuitas di x = 0 pada Contoh 2 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat tak terhapuskan. Kita tidak dapat mendefinisikan kembali nilai g di x = 0 untuk membuat g kontinu di sana.

Inilah pembahasan tentang rumus limit trigonimetri & kontinuitas beserta contoh soalnya, Semoga apa yang telah kita pelajari dalam artikel ini dapat bermanfaat serta menambah wawasan kita semua, khususnya untuk kasus seperti trigonometri & kontinuitas ini.

PERTEMUAN 5 : LIMIT FUNGSI & LIMIT TAK HINGGA

Pengertian Limit Fungsi

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatufungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x.Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p.

Konsep Limit Fungsi 

Limit bisa diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak bisa dicapai. Pada bahasa matematika, keadaan ini biasa disebut limit. Kenapa harus ada limit? karnalimit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

Kenapa harus didekati? karena pada suatu fungsi biasanya tak terdefinisi pada suatu titik tertentu. Meskipun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, Akan tetapi masih bisa dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Rumus Limit

Dalam dunia matematika, Limit biasa di tuiskan sebagai berikut:

Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Pengertian tentang limit di atas dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.

Untuk nilai x yang mendekati 1:

Toerema / Pernyataan:

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri dan limit kannya mempunyai besar nilai yang sama dan apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

Sifat Fungsi Limit 

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat yang berlaku yaitu:

Macam-Macam Metode Limit 

1. Metode Subsitusi

Metode subsitusi hanya mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya

Contoh

Jadi nilai fungsi limit aljabar adalah

2. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran dipakai jika metode subsitusi yang menghasilkan nilai limit tidak terdefinisikan

Contoh :

Metode pemfaktoran dilakukan dengan menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya.

Dengan kaitanya pada bentuk limit kedua ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut

Contoh 1 :

Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal yaitu 2, jadi,

Maka, nilai limit fungsi tersebut adalah

Contoh 2 :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal yaitu 3,
jadi,

Maka, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut yaitu

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan

Contoh soal :

Tentukan nilai limit dari

Langkah pertama yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit adalah dengan mensubtitusikan x = c ke f(x), hingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu

Maka itu untuk menentukan nilai suatu limit wajib menggunakan metode lain. Jika diperhatikan, pada f (x) ada bentuk akar yaitu

hingga metode perkalian dengan akar sekawaran bisa dilakukan pada kasus seperti ini.

Bentuk

bisa difaktorkan jadi

Maka, nilai limit fungsi aljabar tersebut ialah -4

LIMIT TAK HINGGA

Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.

Keterhubungan Tak Hingga dan Nol

 untuk 

Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial

Jika  dan  adalah fungsi polinomial, maka

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar

Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar

 

Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Ada saatnya penggantian nilai x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan.

Limit Bentuk 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :

Bentuk ∞/∞

Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Contoh Soal

Jawaban

Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞

• Jika m<n maka L = 0
• Jika m=n maka L = a/p
• Jika m>n maka L = ∞

Bentuk Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Berikut contoh soal yang akan kami ambil dari ujian nasional 2013.

Tentukan Limit

Jika kalian masukkan x -> 1 maka bentuknya akan menjadi (∞-∞). Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi,

Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nilai limit tak terhingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut. Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

Contoh soal

Nilai limit dari:

Pembahasan :

Nilai pangkat tertinggi pada pembilang ialah 3 dan nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.