Jumat, 21 Juni 2019

PERTEMUAN 11 & 12 : LIMIT BENTUK TAK TENTU

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :


Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Cara penyelesaian


Menggunakan : Subtitusi
                          Perkalian akar sekawan
                           L’Hopital ( penurunan )

Selengkapnya :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh soalnya :
1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.
Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :
Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :


Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.
Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :
Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :


Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :


5. Bentuk Tak Tentu 

6. Bentuk Tak Tentu 



7. Bentuk Tak Tentu

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Selasa, 18 Juni 2019

PERTEMUAN 9 & 10 : TURUNAN FUNGSI

PENGERTIAN TURUNAN

 Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.
Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.
Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.
  • {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}
  • {\displaystyle y'} Ialah simbol untuk turunan pertama.
  • {\displaystyle y''} Ialah simbol untuk turunan kedua.
  • {\displaystyle y'''} Ialah simbol untuk turunan ketiga.
Simbol yang lainnya selain {\displaystyle y'\,} dan {\displaystyle y''\,} ialah {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,} dan{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}.

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.


 Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.
Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan. 
Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.
Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme
Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,
Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahan
Dan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

RUMUS DASAR TURUNAN FUNGSI

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:
  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

1. RUMUS TURUNAN FUNGSI PANGKAT

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus 








Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:

2. RUMUS TURUNAN HASIL KALI FUNGSI

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:








Maka, rumus turunan fungsinya ialah:

3. RUMUS TURUNAN FUNGSI PEMBAGIAN
Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:

Sehingga,








Maka, rumus turunan fungsinya adalah


4. RUMUS TURUNAN FUNGSI PANGKAT

Perlu diingat, apabila , maka:


Karna , maka:



Atau,

Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
RUMUS-RUMUS TURUNAN TRIGONOMETRI

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:

Contoh Soal dan Pembahasannya


Contoh soal 1:

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5).

Pembahasan:

Misalkan apabila u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:
u‘ (x) = 2 dan v‘ (x) maka = 4x3
Dengan demikian, diperoleh penjabaran dan hasilnya:
f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10


Contoh ke 2: Soal Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi pertama dari ialah:

Pembahasan:
Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus  . Maka :

Sehingga turunannya yaitu:





Contoh Soal 3: Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari:
Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat menggunakan rumus campuran yaitu:  
 dan juga
Maka:






Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)