PERTEMUAN 14 : TURUNAN KEDUA FUNGSI

   Turunan kedua (bahasa Inggris: second derivative atau second order derivative), dalam kalkulus, dari suatu fungsi f adalah turunan atau derivatif dari turunan f. Secara kasar dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu kendaraan terhadap waktu adalah percepatan instan kendaraan itu, atau laju perubahan kecepatan kendaraan itu.

   Pada grafik suatu fungsi, turunan kedua bersangkutan dengan curvature atau concavity grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah.

   
Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :

   Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :

a. Menentukan gradien garis singgung kurva

   Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !

Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5

b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun

   Kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0  dan  kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan  f ‘ (x) > 0  atau  f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :

Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !

Jawab :

y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :

f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.

F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.

c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum

   Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 !

Jawab :

y’=3x²-6x-24

nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka

3x²-6x-24 = 0

(x²-2x-8)=0

(x-4)(x+2)=0

x1=4 ; x2=-2

PERTEMUAN 13 : TITIK KRITIS TURUNAN FUNGSI

  Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik denganturunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.

Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama

   Dalam suatu fungsi, kita mengenal dua jenis karakteristik fungsi tersebut, yaitu fungsi naik dan fungsi turun. Kadang kita bisa mengatakan bahwa suatu fungsi itu selalu naik, atau selalu turun. Sering juga kita menjumpai suatu fungsi yang naik pada selang tertentu, tetapi juga turun pada selang yang lain. Hal-hal itulah yang akan kita diskusikan pada pembahasan ini. Setelah membaca pembahasan ini, diharapkan kita dapat memiliki kemampuan berikut.

1. Menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun.
2. Menerapkan Uji Turunan Pertama untuk menemukan nilai ekstrim lokal suatu fungsi.

Fungsi Naik dan Turun

   Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.

Definisi Fungsi Naik dan Turun

   Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

   Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

   Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

   Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

Pembuktian

   Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua xdalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan csedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

   Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.

   Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

   Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

   Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

PERTEMUAN 11 & 12 : LIMIT BENTUK TAK TENTU

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Cara penyelesaian

Menggunakan : Subtitusi

                          Perkalian akar sekawan

                           L’Hopital ( penurunan )

Selengkapnya :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh soalnya :

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

5. Bentuk Tak Tentu 

6. Bentuk Tak Tentu 

7. Bentuk Tak Tentu

PERTEMUAN 9 & 10 : TURUNAN FUNGSI

PENGERTIAN TURUNAN

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

• 
• 
• 
• 

•  Ialah simbol untuk turunan pertama.
•  Ialah simbol untuk turunan kedua.
•  Ialah simbol untuk turunan ketiga.

Simbol yang lainnya selain  dan  ialah  dan.

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan. 
Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.

Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme

Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,

Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahan

Dan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

RUMUS DASAR TURUNAN FUNGSI

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:

1. f(x), menjadi f'(x) = 0
2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

1. RUMUS TURUNAN FUNGSI PANGKAT

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus 

Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:

2. RUMUS TURUNAN HASIL KALI FUNGSI

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:

Maka, rumus turunan fungsinya ialah:

3. RUMUS TURUNAN FUNGSI PEMBAGIAN

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:

Sehingga,

Maka, rumus turunan fungsinya adalah

4. RUMUS TURUNAN FUNGSI PANGKAT

Perlu diingat, apabila , maka:

Karna , maka:

Atau,

Maka, rumus turunan fungsinya ialah:

RUMUS-RUMUS TURUNAN TRIGONOMETRI

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:

Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh soal 1:

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5).

Pembahasan:

Misalkan apabila u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:

u‘ (x) = 2 dan v‘ (x) maka = 4x3

Dengan demikian, diperoleh penjabaran dan hasilnya:

f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Contoh ke 2: Soal Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi pertama dari ialah:

Pembahasan:

Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus  . Maka :

Sehingga turunannya yaitu:

Contoh Soal 3: Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari:

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat menggunakan rumus campuran yaitu:  

 dan juga

Maka: