PERTEMUAN 13 : TITIK KRITIS TURUNAN FUNGSI

  Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik denganturunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.

Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama

   Dalam suatu fungsi, kita mengenal dua jenis karakteristik fungsi tersebut, yaitu fungsi naik dan fungsi turun. Kadang kita bisa mengatakan bahwa suatu fungsi itu selalu naik, atau selalu turun. Sering juga kita menjumpai suatu fungsi yang naik pada selang tertentu, tetapi juga turun pada selang yang lain. Hal-hal itulah yang akan kita diskusikan pada pembahasan ini. Setelah membaca pembahasan ini, diharapkan kita dapat memiliki kemampuan berikut.

1. Menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun.
2. Menerapkan Uji Turunan Pertama untuk menemukan nilai ekstrim lokal suatu fungsi.

Fungsi Naik dan Turun

   Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.

Definisi Fungsi Naik dan Turun

   Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

   Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

   Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

   Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

Pembuktian

   Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua xdalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan csedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

   Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.

   Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

   Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

   Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.