MATERI KALKULUS 1: PERTEMUAN 1 : BILANGAN REAL

Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional sendiri.
Contohnya :
0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.

Diperhatikan beberapa simbol berikut:

$\mathbb{N}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan asli $\{1,2,3,...\}$ ,
$\mathbb{Z}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan bulat $\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ,
$\mathbb{Q}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan rasional $\left\{\frac{a}{b}:a\in\mathbb{Z}\text{ dan } b\in\mathbb{N}\right\}$ ,
$\mathbb{R}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan real, dan
$\mathbb{C}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan kompleks $\{a+ib:a,b\in\mathbb{R}\}$ .

1. Bilangan Rasional

Bilangan Rasional yaitu bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contohnya :
1/4 menjadi a = 1 dan b = 4.

2. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, atau bilangan yang bukan bilangan rasional.
Contohnya :
√2, √3, √5

NB :
√9 = 3, maka √9 bukan bilangan irrasional.

Adapun teoremanya yaitu:

“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”

GARIS BILANGAN

Merupakan suatu gambar garis lurus di mana setiap titiknya diasumsikan melambangkan suatu bilangan real dan setiap bilangan real merujuk pada satu titik tertentu. Seperti pada contoh gambar dibawah ini.

SISTEM BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :

1. Sifat-sifat aljabar

Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh:

2 + 5⅛ = 7⅛

5-0,4 = 4,6

4 x ¾= 1

3 : 4 = ¾

2. Sifat-sifat urutan

• Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.

contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

• Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b, jika b – a positif

contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Untuk setiap bilangan real $a,b$ dan $c$ , diperoleh beberapa sifat urutan bilangan real berikut.

Jika $a\leq b$ maka $a+c\leq b+c$ , untuk setiap bilangan real $c$ .
Jika $a\leq b$ dan $b\leq c$ maka $a\leq c$ .
Jika $a\leq b$ dan $c>0$ maka $ac\leq bc$ . Dilain pihak, jika $a\leq b$ dan $c<0$ maka $ac\geq bc$ .
Jika $a>0$ maka $\frac{1}{a}>0$ . Lebih lanjut, jika $0<a\leq b$ maka $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .
Untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$ berlaku tepat satu
$\begin{equation*} a<b,\text{ atau }a=b,\text{ atau }a<b. \end{equation*}$
Jika $a,b\geq 0$ maka
$\begin{equation*} a\leq b \Leftrightarrow a^{2}\leq b^{2} \Leftrightarrow \sqrt{a}\leq \sqrt{b}. \end{equation*}$

3. Sifat-sifat kelengkapan

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa

terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real

secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya

Contoh :

Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah!

a. -2 < -5

Pada sistem bilangan real berlaku relasi urutan. Didefinisikan beberapa hal berikut.

Bilangan real $a$ dikatakan positif, jika $a>0$ .
Bilangan real $a$ dikatakan negatif, jika $a<0$ .
Bilangan real $a$ dikatakan nonnegatif, jika $a\geq 0$ .

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval (bilangan real) dalam matematika adalah suatu himpunan bilangan real dengan sifat bahwa setiap bilangan yang terletak di antara dua bilangandalam himpunan itu juga termasuk ke dalam himpunan. Seperti pada contoh gambar dibawah ini.

Perlu dipahami pula tentang interval pada garis bilangan. Apakah yang dimaksud dengan interval? Interval merupakan himpunan bilangan real yang dibatasi oleh satu atau dua batas bilangan misalnya: 2 < x < 5 artinya himpunan bilangan real yang nilainya lebih dari 2 tetapi kurang dari 5. Bilangan yang masuk dalam himpunan seperti 3, 4, 8/3 disebut interior point. Sedangkan bilangan diluar himpunan seperti 10, -5, ½ disebut exterior point. Ada tiga jenis interval yaitu interval terbuka, interval tertutup dan interval gabungan. Berikut ini adalah contoh masing-masing interval dan cara penulisannya.

Interval terbuka

Contoh: 2 < x < 6 ditulis (2,6) artinya himpunan semua bilangan real yang lebih dari 2 dan kurang dari 6. Bilangan 2 dan 6 yang merupakan batas interval termasuk ke dalam exterior point. Interval ini apabila digambarkan pada garis bilangan akan menjadi sebagai berikut.

Tanda pada batas angka 2 dan 6 berupa lingkaran tanpa isi karena 2 dan 6 tidak termasuk dalam himpunan bilangan real pada interval.

Interval tertutup

Contoh interval tertutup yaitu

ditulis menjadi

artinya yaitu himpunan bilangan real yang nilainya lebih dari sama dengan 0 dan kurang dari sama dengan 7/2. Perbedaan dengan interval terbuka yaitu batas interval termasuk dalam interior point. Apabila gambarkan pada garis bilangan akan menjadi sebagai berikut.

Batas interval 0 dan 7/2 berupa lingkaran dengan isi karena batas tersebut termasuk ke dalam interior point.

Interval gabungan

Interval gabungan pada dasarnya merupakan gabungan dari interval terbuka. Berikut beberapa contoh interval gabungan yaitu:

Interval gabungan sebenarnya termasuk pada interval terbuka.

MATERI KALKULUS 1

Kamis, 14 Maret 2019

PERTEMUAN 1 : BILANGAN REAL

2 komentar: