PERTEMUAN 2 & 3 : NILAI MUTLAK BILANGAN REAL

Salah satu definisi yang banyak digunakan pada bilangan real adalah nilai mutlak. Sebagai contoh, di kehidupan sehari-hari kita mengenal konsep selisih dua bilangan, yaitu nilai mutlak dari suatu bilangan dikurangi bilangan yang lain. Seperti kita ketahui bahwa pengurangan dua buah bilangan real dapat menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif atau nol. Tetapi dalam konsep selisih dua bilangan real yang kita kenal merupakan bilangan nonnegatif.

Pertama yang harus kamu tahu nih, apa itu “mutlak”? Di matematika, mutlak berarti nilainya selalu lebih dari atau sama dengan 0. Biasanya sih disimbolkan oleh dua garis tegak lurus mengapit suatu kalimat matematika, contohnya “| 5x + 7 |”.

Nilainya selalu lebih dari atau sama dengan 0, walaupun x yang dipilih menyebabkan “5x + 7” jadi negatif. Jadi ada dua kemungkinan kejadian pada setiap perhitungan untuk nilai mutlak. 

Setelah memahami apa itu fungsi nilai mutlak, ingat-ingat juga perbedaan persamaan linear dan pertidaksamaan linear. Persamaan linear dari suatu nilai mutlak kita sebut persamaan linear mutlak, ingat bahwa kata-kata “jarak” itu nilainya selalu positif, sehingga ia bisa memanfaatkan prinsip nilai mutlak.

Misalnya jarak toko buku dari rumah adalah x. Persamaan linear mutlaknya yaitu

| x - 5 | = 1

Selanjutnya cari nilai x sehingga |x - 5| akan menghasilkan 1 nih. Bagaimana langkah-langkah penyelesaian persamaan linear nilai mutlak?

Ada dua kemungkinan, x - 5 atau – (x - 5)

• Kemungkinan pertama
  x - 5 = 1
  x      = 6

• Kemungkinan kedua
  - (x - 5) = 1
  x - 5      = -1
  x           =  4

Lebih lanjut, diberikan definisi nilai mutlak dalam bahasa matematika berikut. Nilai mutlak dari bilangan real , dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai:

Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai:

Beberapa sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diantaranya:

Contoh soal:

1. Tentukan penyelesaian dari |x-2|=3

Penyelesaian :

|x-2|=3

=> x-2 = 3

        x  = 3+2

        x  = 5

=> -(x-2) = 3

        x-2  = -3

          x   = -3+2

          x   = -1

Sehingga penyelesaiannya x=5 atau x=-1

2. Tentukan penyelesaian dari |x-2| = |6+2x|

Penyelesaian :

=>       |x-2| = |6+2x|

          (x-2)² = (6+2x)²

       x²-4x+4 = 36+24x+4x²

             0     = 4x²-x²+24x+4x+36-4

             0     = 3x²+28x+32

             0     = (3x+4) (x+8)

           3x+4 = 0

               3x = -4

                x  = -4/3

atau

=>   x+8 = 0

          x  = -8

Sehingga penyelesaiannya x=-4/3 atau x=-8

3. Tentukan nilai x yang memenuhi |2x+16|=x+4

Penyelesaian :

|2x+16|

=> 2x+16 untuk 2x+16 ≥ 0

                                2x ≥ -16

                                 x  ≥ -16/2

                                x  ≥  -8

=> -(2x+16) untuk 2x+16 < 0

                                2x    < -16

                                 x     < -16/2

                                 x     <  -8

=>Untuk interval x≥-8

|2x+16| = x+4

  2x+16  = x+4

   2x-x    = 4-16

         x    = -12

x=-12 tidak termuat dalam interval x≥8

Jadi interval x≥8 tidak mempunyai penyelesaian.

=>Untuk interval x<-8

      |2x+16| = x+4

    -(2x+16) = x+4

     -2x-16   = x+4

     -2x-x     = 4+16

        -3x     = 20

          x      = 20/-3

          x      = -6 2/3

x=-6 2/3 tidak termuat dalam interval x<-8

Jadi interval x<-8 tidak mempunyai penyelesaian.

Itulah penjelasan, contoh soal serta pembahasan dari materi nilai mutlak, semoga bermanfaat.